吴婷婷, 高健
录用日期: 2024-06-27
循环码是线性码的一个重要子类, 由于其具有高效的编码和译码算法, 因此在数据存储系统、通信系统等领域具有广泛的应用. 本文研究了有限域$\mathbb{F}_5$ 上的由三个非零元素$\alpha$, $\alpha^e$, $\alpha^s$ 定义的循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$, 其中$\alpha$ 是$\mathbb{F}_{5^m}$ 的本原元, $m$ 是正整数, $s=\dfrac{5^m-1}{2}$, $2\leq e\leq 5^m-2$. 首先, 给出了当$e=5^h-2$, 其中$1\leq h\leq m$ 时, 五元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 是最优码的充要条件, 并且, 基于提出的充要条件, 通过分析某些多项式的不可约因式的情况, 证明了当$m$ 是大于等于$3$ 的奇数, $h$ 分别取 $2,m-2,m-1$ 时, 循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 均是参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$ 的最优码; 其次, 当$e=4(5^h+1)$, 其中$0\leq h\leq m-1$ 时, 通过分析某些方程组的解的情况, 证明了当$m$ 是大于等于$3$ 的奇数, $h$ 取$0$ 时, 循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ 是参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$ 的最优码. 本文对于文献[19] 提出的两个公开问题的解决有一定程度的推进.