杨海涛
对${\It \Pi}_k$空间上有单位的第一类闭算子代数, 在正规分解\begin{eqnarray*}{\It \Pi}_k=(Z\oplus H)+Z^{*}\ay\end{eqnarray*}下给出一般形式如下\ay\begineqnarray*}\mathcal{A}=\left\{\left( \begin{array}{ccc}\varphi(M)&A_{12} &T \\ &M+ M_{0} &A_{23} \\ & &\varphi(M^{*})^{*} \end{array} \right)
\Bigg | \ M_{0}\in {\rm ker}\varphi,\ M=\psi(\widetilde{M}) \right\},\end{eqnarray*}其中\ay\begin{eqnarray*}&&A_{12}=(q(M^{*})+q(M_{0}^{*})\oplus Y\oplus\mathcal{P}U)\otimes\xi,\\&&A_{23}=\eta\otimes(q(M)+q(M_{0})\oplus Z\oplus U),\end{eqnarray*}$\widetilde{M} \in \mathcal{ B}/{\rm ker}\varphi$, $\psi$是在类$\widetilde{M}$中只取一个代表元的映射; $Y, Z \in \mathcal{R}, U\in \mathcal{D}, T\in \mathcal{T}$, $\mathcal{T}\subseteq
B(Z^{*}, Z)$是对称的线性子空间. $\mathcal{B}=\mathcal{A}_{\midH}\subseteq B(H)$, 是$C*$-代数; $\mathcal{R}\subseteq H^{k}$是对$\mathcal{B}^{k}$ 不变的闭子空间,$\varphi:\mathcal{B}\rightarrow B(Z)$是一个同态, $q: {\rm ker}\varphi\rightarrow H^{(k)}$是$*$-闭的拟向量; $\mathcal{D},\mathcal{R},\{q(M_{0})\mid M_{0}\in{\rm ker}\varphi\}$相互直交, $\mathcal{D}\subseteq{\rm ker}\varphi$, $\varphi(M)^{\RM T}U=MU$; $\mathcal{P}$是自共轭线性闭算子,$\mathcal{P}^{2}=I$. 满足: $(Y, Z),(\mathcal{P}U, U), (q(M_{1}), q(M_{2})), \varphi(M)T\in\mathcal{T}, T\in\mathcal{T}$, $M_{1}, M_{2}, M\in \mathcal{B}$.
