吴婷婷, 高健
循环码是线性码的一个重要子类,由于其具有高效的编码和译码算法,因此在数据存储系统、通信系统等领域具有广泛的应用.文章研究了有限域$\mathbb{F}_5$上的由三个非零元素$\alpha$,$\alpha^e$,$\alpha^s$定义的循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$,其中$\alpha$是$\mathbb{F}_{5^m}$的本原元,$m$是正整数,$s=\frac{5^m-1}{2}$,$2\leq e\leq 5^m-2$.首先,给出了当$e=5^h-2$,其中$1\leq h\leq m$时,五元循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$是最优码的充要条件,并且,基于提出的充要条件,通过分析某些多项式的不可约因式的情况,证明了当$m$是大于等于$3$的奇数,$h$分别取$2,m-2,m-1$时,循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$均是参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$的最优码;其次,当$e=4(5^h+1)$,其中$0\leq h\leq m-1$时,通过分析某些方程组的解的情况,证明了当$m$是大于等于$3$的奇数,$h$取$0$时,循环码$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$是参数为$[5^m-1,5^m-2m-2,4]$的最优码.文章对于文献(Wu等,2023)提出的两个公开问题的解决有一定程度的推进.
