J.SIMON
本文讨论状态由右端有空间点作用的抛物型偏微分方程确定的控制问题。具体地说,给定Ω(Ω为R~n的开集)中的点b,以及(0,T)上的函数v=v(t),状态y=y_(v,b)(x,t)是下列方程的解: (y/t)+Ay=v(t)δ_b(t),x∈Ω,t∈(0,T),这里假设y的初值和边值都是零,δ_b是支点为b的Dirac函数,A是x的二阶椭圆型偏微分算子.被极小化的代价泛函为 其中z给定在Ω中,N>0。 这一问题是由Lions首先提出并研究的(也参看[10]-[12],[14],[15]).本文对此又作进一步系统讨论,特别是改正了原来的一些不准确的结果.例如,引入空间 U_b={v|v∈L~2(0,T),y_v,b(·,T)∈L~2(Ω)}.本文指出而不是以前所指出的本文也指出,Green公式一般也不成立,而应该是这里Q=Ω×(0,T),∑为Q的边界,A~*为A的共轭算子,v_A是关于A的外法线方向. 同时,本文还讨论了最优性的一阶必要条件,正则性结果;引入 (b)=inf J(v,b),v∈U_b.还讨论了对b的连续性、可导性、导数在边界上的性态以及对控制问题的应用等。
