克劳德·贝尔日
Gallai 和 Milgram 曾经证明,有向图 G 的所有结点可用恰好 α(G) 条互不相交的路来复盖,此处 α(G) 为图 G 的内固数.然而这个结果的好多证明都未指出存在着一最优 内固集 S 以及结点集的一个路剖分 μ_1,μ_2,…μ_k,以致对于所有 i,均有|S∩μ_i|=1.Gallai 和 Roy 曾经独立地证明,在一有向图 G 中,令 k 为一条路所能包含的最多的结点的个数,则 k 至少等于图 G 的色数γ(G).同样,我们不知道是否存在一最优色谱(S_1,S_2,…,S_k)以及一条路μ,以致对于所有的 i,均有|S_i∩μ|=1.在本文中引进了下述概念:1.有向图 G 称为α-有向完美,若对于每一最优内固集 S,均存在结点集合的一个路剖分μ_1,μ_2,…,以致对于所有的 i,均有|S∩μ_i|=1(且此性质对 G 的任一子图亦成立).2.一有向图 G 称为 γ-完美,若对于每一最优色谱 (S_1,S_1,…S_k),均存在一条路 μ,以致对于所有 i,均有|μ∩S_i|=1(且此性质对 G 的每一子图亦均成立).3.一长度为2k+1的奇圈系由2k+1条弧 u_1,u_2,…,u_(2k+1) 所给出,并从而确定了一个有2k+1个结点的序列 x_1,x_2,…,x_(2k+1).一条弦,可以是 G 的一条弧,它联结在以上叙列中不相继的两个结点,或者是 G 的一条弧,它平行上述2k+1条弧中的一条弧.一个奇圈称为反有向的,若i)其长度>3,ii)最长路的长度为2,iii)诸结点 x_1,x_2,x_3,x_4,x_6,x_8…x_(2k)中的每一结点或者为源(Source)或为穴(Sink).如文中图1所示,便为一长度是9的反有向奇圈.许多有向图,如传递图既是α-有向完美,也是γ-有向完美.文中并指出下列猜想:1)有向图 G 为 α-有向完美,当且仅若 G 不包含不具有弦的反有向奇圈.2)若 G 的每一长度>3的奇圈均有一弦,则 G 为α-有向完美.3)若 G 的每一长度>3的奇圈均至少有两条弦,则 G 为α-有向完美.易见在上述猜想中,每一猜想均较下一猜想为强.
