丁夏畦;罗佩珠
本文共分两部分.第一部分将提供一类新的函数空间,即 Ba 空间,并较详细地研究它们的性质.这类空间包括经典的某些 Orlicz 空间,Orlicz—Sobolev 空间,等等,它们具有某些与 Orlicz 空间类似地性质.但它们包含的内容广泛得多.由于这类空间的研究与应用主要是建立在经典的 Lebesgue 类 L_p 上,所以方法比较自然,结果更加精确.设 B={B_1…,B_m,…)为一串线性赋范函数空间,a={a_1,…,a_m,…}为一串非负实数,φ(z)=Σα_nz~n 为整函数,对于 f∈∩B_m 构成幂级数I(f,α)=Σα_m‖f‖_B_m~mα~m.(I.1)如 I(f,α)具非负收敛半径,我们则称 f∈BL(φ)或记为 B_α,或记为(B_m,α_m,),记 I(f,1)=I(f).空间 BL(φ)的范数定义为‖f‖_Bα=(?){1/α}(I.2)简记为‖f‖.容易证明‖f‖满足范数三条件,如 I(f,α)为α的整函数,则称 f∈BE(φ)或记为 aB,或记为(a_m,B_m),其范数的定义与(I,2)同.aB 构成 Ba 之一子空间.如果取 B_m=L_m,则 Ba≡Orlicz 空间 Lφ,如果取 B_m=W_m~l,则 Ba≡Orlicz— Sobolev 空间 W~lLφ.我们过去实际上是把一些特殊的 Ba 空间应用到差分法的误差估计,强非线性变分问题等等.在本文中,我们探讨这种空间的某些基本性质,诸如完备性,可分性,列紧性,线性泛函,弱收敛,等等.第二部分,实际上是把这种空间用来作线性方程的先验估计.当然,首先要作的是Laplace 算子在某些典型区域上的先验估计.正如通常一样,首先作全空间的体场位,半空间的狄氏问题的解的估计.为此我们先要对这些区域的解在 Besov 空间作出估计,这种估计虽然过去有过,但为了要对 Ba 空间作估计,我们需要明确的常数估计.为了完备起见,我们用我们的方法得到了这些估计,较过去更确切地估算了常数.我们着重研究了四分之一空间(相当于平面的第一象限)定解问题的解的先验估计.这种区域的特点是它的边界不光滑,有棱角.近年来,由于有限元方法的广泛应用与流行,对于有角点的区域的细致研究,引起了广泛的兴趣.所以本文就这种情况的一个特款进行了研究,这对有限元法的广泛探讨也许会有启发.我们发现具有棱角边界的先验估计中,出现一种离散现象,即对于某些特定的分数阶可微函数空间时,估计不成立了.欲使估计成立,必须对已知数据加上一些附加条件.这些性质在讨论抛物型方程的混合问题时,已为B.A.所发现.但他并未对 Laplace 算子的有角区域得出这样的论断.而 Laplace 算子这种现象的出现,其意义将是重要的.它将影响到有限元方法的收敛与误差估计.这种影响我们以后将进一步阐明.
