赵世忠, 符红光, 秦小林, 刘静, 刘云浩
任给一个$m$次的整系数多项式$\sum_{i=0}^m a_i\,x^i,$
其中首项系数$a_m=1$,
以及对应的下列不动点迭代算法
$$\left\{
\begin{array}{ll}
u_1=\tilde{u}_1, \\
u_2=\tilde{u}_2, \\
\quad\,\,\,\vdots \\
u_{m-1}=\tilde{u}_{m-1}, \\
\displaystyle{u_n=-\Big{(}a_{m-1}+\dfrac{a_{m-2}}{u_{n-1}}
+\dfrac{a_{m-3}}{u_{n-1}u_{n-2}}+\cdots+\dfrac{a_{0}}{u_{n-1}
u_{n-2}\cdots u_{n-(m-1)}}\Big{)}\,\,(n\geq m).}
\end{array}
\right.
$$ 1)不难看出, 若迭代具有一个有理数极限值, 则该值为多项式的一个零点,
从 而多项式在有理数域上可约. 2)该迭代具有"勿需选择初始点"的特征:
若 多项式有$m$个绝对值互不相同的有理数零点,
那么任意取$m-1$个非零有理初始点$\tilde{u}_i\,(1\leq i\leq
m-1)$, 迭代均趋近于其中一个零点, 因此, 多项式可约.
3)假设$\{\zeta_i\,\big{|}\, |\zeta_1|\geq|\zeta_{2}|\geq
\cdots\geq|\zeta_m|,\,\zeta_i\in\mathcal{C},\,1\leq i\leq
m\}$是上述多项式 互不相同的零点, 则存在$m$个复数$\{\beta_i\,|\,
\beta_i\in\mathcal{C},\,1\leq i\leq m\}$, 使得$u_n$可以表示成
\begin{equation*}u_n=\frac{\beta_1\zeta_1^{n+1}+\beta_2\zeta_2^{n+1}
+\cdots+\beta_m\zeta_m^{n+1}}{\beta_1\zeta_1^n+\beta_2\zeta_2^n+\cdots+\beta_m\zeta_m^n}%\,\,(\beta_i\in\mathcal{R})
.\end{equation*} 在$\beta$向量的$m$个元素中,
设$\beta_l$是首个非0元素, $\beta_{k}$为其后首个非0元素,
即$\{\beta_i\,|\, \beta_i\in\mathcal{C},\,1\leq i\leq m\}=
\{\underbrace{0,0,\cdots,0}_{\mbox{全为0}},\beta_l(\neq0),
\underbrace{0,0,\cdots,0}_{\mbox{
全为0}},\beta_k(\neq0),\cdots,\beta_m\}.$ 这时,
若$|\zeta_l|>|\zeta_k|$, 则迭代收敛于$\zeta_l$. 因此,
若$\zeta_l\in\mathcal{Q}$, 则多项式可约.
